GTS

２次関数に文字係数が含まれるときは、以下の３つである。

1. 定義域の端点の片方のみが動くとき

   定義域の右端 \( a \) の値によって, 最大値・最小値が変化する。 \[ 例：y=x^2-4x+1　　(0≦x≦a) \]

2. 頂点が動くとき

   頂点の \( x \) 座標 \( a \) の値によって, 最大値・最小値が変化する。 \[ 例１：y=x^2-2ax+a^2+1　　(0≦x≦2) \] \[ 例２：y=−x^2+2ax+1　　(−1≦x≦3)\]

3. 定義域全体が動くとき

   定義域全体が \( a \) の値によって変化するため, 最大値・最小値が変化する。 \[ 例１：y=-x^2+4x　　(a≦x≦a+2) \] \[ 例２：y=x^2-4x+1　　(a≦x≦a+1) \]

どの場合においても, 頂点がどこにあるかが場合分けのポイントである。
場合分けの方法は以下の通り。ただし, この方法はグラフの形が下に凸のときであり, 上に凸のときは最大値と最小値の分け方が逆になる。

最大値

1. 軸（頂点の \( x \) 座標）が, 定義域の中央より左側
2. 軸（頂点の \( x \) 座標）が, 定義域の中央より右側

最小値

1. 軸（頂点の \( x \) 座標）が, 定義域より左側
2. 軸（頂点の \( x \) 座標）が, 定義域内
3. 軸（頂点の \( x \) 座標）が, 定義域より右側

上記の分け方は最大値と最小値それぞれの分け方であるが、両方をまとめる分け方もある。その方法は以下の通り。

1. 軸（頂点の \( x \) 座標）が, 定義域より左側
2. 軸（頂点の \( x \) 座標）が, 定義域内の左側
3. 軸（頂点の \( x \) 座標）が, 定義域の中央にある
4. 軸（頂点の \( x \) 座標）が, 定義域内の右側
5. 軸（頂点の \( x \) 座標）が, 定義域より右側

※イコールは, 区間が途切れないのであれば, どの場合に含んでもよい。

※定義域の中央にある場合を定義域内の左右のどちらかに入れることがある。

\( a \)は正の定数とする。次の関数の最大値, 最小値を求めよ。
\(y=x^2-4x+1　　(0≦x≦a) \)

解法：
平方完成すると, \( y=(x-2)^2-3 \) より
頂点の座標は\( (2，-3) \), 軸は直線 \(x=2\)
また, \(x=0\) のとき \(y=1\), \(x=a\) のとき \(y=a^2-4a+1\)

最大値について考える。

定義域の中央は \( \displaystyle \frac{a}{2} \) となるので, \( 2 \leqq \displaystyle \frac{a}{2} \) の場合と \( 2 > \displaystyle \frac{a}{2} \) の場合に分ける。

1. （軸が定義域の中央より左側の場合）
   \( 2 \leqq \displaystyle \frac{a}{2} \) のとき, すなわち \( a \geqq 4 \) のとき
   グラフより, \(x=a\) で最大値 \(a^2-4a+1\)
2. （軸が定義域の中央より右側の場合）
   \( 2 > \displaystyle \frac{a}{2} \) のとき, すなわち \( 0 \leqq a < 4 \) のとき
   グラフより, \(x=0\) で最大値 \(1\)

最小値について考える。

軸が定義域より左側の場合は \( 2 < 0 \) となるので, 考えなくて良い。
したがって, \( 2 \leqq a \) の場合と \( 2 > a \) の場合に分ける。

1. （軸が定義域内の場合）
   \( 2 \leqq a \) のとき, すなわち \( a \geqq 2 \) のとき
   グラフより, \(x=2\) で最小値 \( -3 \)
2. （軸が定義域より右側の場合）
   \( 2 > a \) のとき, すなわち \( 0 \leqq a < 2 \) のとき
   グラフより, \(x=a\) で最小値 \(a^2-4a+1\)

最大値を最小値をまとめてかく場合は, 以下のようになる。

解答：

1. （軸が定義域より右側の場合）\( 0 \leqq a < 2 \) のとき,
   　\( x=0 \) で最大値 \( 1 \),　\( x=a \) で最小値 \(a^2-4a+1 \)
2. （軸が定義域内の右側の場合）\( 2≦ a < 4 \) のとき,
   　\( x=0 \) で最大値 \( 1 \),　\( x=2 \) で最小値 \( -3 \)
3. （軸が定義域の中央にある場合）\( a = 4 \) のとき,
   　\( x=0,\ a \) で最大値 \( 1 \),　\( x=2 \) で最小値 \( -3 \)
4. （軸が定義域内の左側の場合）\( a > 4 \) のとき,
   　\( x=a \) で最大値 \( a^2-4a+1 \),　\( x=2 \) で最小値 \(-3 \)

\( y=x^2-4x+1 \)のグラフ

a=

赤色の点が最小値, 緑色の点が最大値をとる場所を表す。 ピンクの線は定義域の右端を表す。

\( a \)は定数とする。次の関数の最大値, 最小値を求めよ。
\(y=x^2-2ax+a^2+1　　(0≦x≦2) \)

解法：
平方完成すると, \( y=(x-a)^2+1 \) より
頂点の座標は\( (a，1) \), 軸は直線 \(x=a\)
また, \(x=0\) のとき \(y=a^2+1\), \(x=2\) のとき \(y=a^2-4a+5\)

最大値について考える。

定義域の中央は \( 1 \) となるので, \( a \leqq 1 \) の場合と \( a > 1 \) の場合に分ける。

1. （軸が定義域の中央より左側の場合）
   \( a \leqq 1 \) のとき
   グラフより, \(x=2\) で最大値 \(a^2-4a+5\)
2. （軸が定義域の中央より右側の場合）
   \( a > 1 \) のとき
   グラフより, \(x=0\) で最大値 \( a^2+1 \)

最小値について考える。

\( a < 0 \) の場合と \( 0 \leqq a \leqq 2 \) の場合と \( a > 2 \) の場合に分ける。

1. （軸が定義域より左の場合）
   \( a < 0 \) のとき
   グラフより, \(x=0\) で最小値 \(a^2+1\)
2. （軸が定義域内の場合）
   \( 0 \leqq a \leqq 2 \) のとき
   グラフより, \(x=a\) で最小値 \( 1 \)
3. （軸が定義域より右側の場合）
   \( a > 2 \) のとき
   グラフより, \(x=2\) で最小値 \(a^2-4a+5\)

最大値を最小値をまとめてかく場合は, 以下のようになる。

解答：

1. （軸が定義域より左側の場合）\( a < 0 \) のとき,
   　\( x=2 \) で最大値 \( a^2-4a+5 \), \( x=0 \) で最小値 \(a^2+1 \)
2. （軸が定義域内の左側の場合）\( 0≦ a < 1 \) のとき,
   　\( x=2 \) で最大値 \( a^2-4a+5 \), \( x=a \) で最小値 \( 1 \)
3. （軸が定義域の中央にある場合）\( a = 1 \) のとき,
   　\( x=0,2 \) で最大値 \( 2 \), \( x=a \) で最小値 \( 1 \)
4. （軸が定義域内の右側の場合）\( 1 < a ≦ 2 \) のとき,
   　\( x=0 \) で最大値 \( a^2+1 \), \( x=a \) で最小値 \( 1 \)
5. （軸が定義域より右側の場合）\( a > 2 \) のとき,
   　\( x=0 \) で最大値 \( a^2+1 \), \( x=2 \) で最小値 \(a^2-4a+5 \)

\( y=x^2-2ax + a^2 + 1 \)のグラフ

a=

赤色の点が最小値, 緑色の点が最大値をとる場所を表す。 ピンクの線は軸を表す。

\( a \)は定数とする。次の関数の最大値, 最小値を求めよ。
\(y=-x^2+2ax+1　　(-1≦x≦3) \)

解法：
平方完成すると, \( y=-(x-a)^2+a^2+1 \) より
頂点の座標は\( (a，a^2+1) \), 軸は直線 \(x=a\)
また, \(x=-1\) のとき \(y=-2a\), \(x=3\) のとき \(y=6a-8\)

※グラフが上に凸であるから, 最大値と最小値の場合分けが逆になる。

最大値について考える。

\( a < -1 \) の場合と \( -1 \leqq a \leqq 3 \) の場合と \( a > 3 \) の場合に分ける。

1. （軸が定義域より左の場合）
   \( a < -1 \) のとき
   グラフより, \(x=-1\) で最大値 \(-2a\)
2. （軸が定義域内の場合）
   \( -1 \leqq a \leqq 3 \) のとき
   グラフより, \(x=a\) で最大値 \( a^2+1 \)
3. （軸が定義域より右側の場合）
   \( a > 3 \) のとき
   グラフより, \(x=3\) で最大値 \(6a-8\)

最小値について考える。

定義域の中央は \( 1 \) となるので, \( a \leqq 1 \) の場合と \( a > 1 \) の場合に分ける。

1. （軸が定義域の中央より左側の場合）
   \( a \leqq 1 \) のとき
   グラフより, \(x=3\) で最小値 \(6a-8\)
2. （軸が定義域の中央より右側の場合）
   \( a > 1 \) のとき
   グラフより, \(x=-1\) で最小値 \( -2a \)

最大値を最小値をまとめてかく場合は, 以下のようになる。

解答：

1. （軸が定義域より左側の場合）\( a < -1 \) のとき,
   　\( x=-1 \) で最大値 \( -2a \), \( x=3 \) で最小値 \(6a-8 \)
2. （軸が定義域内の左側の場合）\( -1 \leqq a < 1 \) のとき,
   　\( x=a \) で最大値 \( a^2+1 \), \( x=3 \) で最小値 \( 6a-8 \)
3. （軸が定義域の中央にある場合）\( a = 1 \) のとき,
   　\( x=a \) で最大値 \( a^2+1 \), \( x=-1,\ 3 \) で最小値 \( -2 \)
4. （軸が定義域内の右側の場合）\( 1 < a \leqq 3 \) のとき,
   　\( x=a \) で最大値 \( a^2+1 \), \( x=-1 \) で最小値 \( -2a \)
5. （軸が定義域より右側の場合）\( a > 2 \) のとき,
   　\( x=3 \) で最大値 \( 6a-8 \), \( x=-1 \) で最小値 \(-2a \)

\( y=x^2-2ax + a^2 + 1 \)のグラフ

a=

赤色の点が最小値, 緑色の点が最大値をとる場所を表す。 ピンクの線は軸を表す。

\( a \)は正の定数とする。次の関数の最大値, 最小値を求めよ。
\(y=-x^2+4x　　(a≦x≦a+2) \)

解法：
平方完成すると, \( y=-(x-2)^2+4 \) より
頂点の座標は\( (2，4) \), 軸は直線 \(x=2\)
また, \(x=a\) のとき \(y=-a^2+4a\), \(x=a+2\) のとき \(y=-a^2+4\)

※グラフが上に凸であるから, 最大値と最小値の場合分けが逆になる。

最大値について考える。

\( 2 < a \) の場合と \( a \leqq 2 \leqq a+2 \) の場合と \( 2 > a+2 \) の場合に分ける。

1. （軸が定義域より左の場合）
   \(2 < a\) のとき, すなわち \( a >2 \) のとき
   グラフより, \(x=a\) で最大値 \(-a^2+4a\)
2. （軸が定義域内の場合）
   \( a \leqq 2 \leqq a + 2 \) のとき, すなわち \( 0 \leqq a \leqq 2 \) のとき
   グラフより, \(x=2\) で最大値 \( 4 \)
3. （軸が定義域より右側の場合）
   \( 2 > a+2 \) のとき, すなわち \( a < 0 \) のとき
   グラフより, \(x=a+2\) で最大値 \(-a^2+4\)

最小値について考える。

定義域の中央は \( a+1 \) となるので, \( 2 \leqq a+1 \) の場合と \( 2 > a+1 \) の場合に分ける。

1. （軸が定義域の中央より左側の場合）
   \(2 \leqq a+1 \) のとき, すなわち \( a \geqq 1 \) のとき
   グラフより, \(x=a+2\) で最小値 \(-a^2+4\)
2. （軸が定義域の中央より右側の場合）
   \(2 > a+1 \) のとき, すなわち \( a < 1 \) のとき
   グラフより, \(x=a\) で最小値 \( -a^2+4a \)

最大値を最小値をまとめてかく場合は, 以下のようになる。

解答：

1. （軸が定義域より右側の場合）\( a < 0 \) のとき,
   　\( x=a+2 \) で最大値 \( -a^2+4 \), \( x=a \) で最小値 \( -a^2+4a \)
2. （軸が定義域内の右側の場合）\( 0 \leqq a < 1 \) のとき,
   　\( x=2 \) で最大値 \( 4 \), \( x=a \) で最小値 \( -a^2+4a \)
3. （軸が定義域の中央にある場合）\( a = 1 \) のとき,
   　\( x=2 \) で最大値 \( 4 \), \( x=1, 3 \) で最小値 \( 3 \)
4. （軸が定義域内の左側の場合）\( 1 < a \leqq 2 \) のとき,
   　\( x=2 \) で最大値 \( 4 \), \( x=a+2 \) で最小値 \( -a^2+4 \)
5. （軸が定義域より左側の場合）\( a > 2 \) のとき,
   　\( x=a \) で最大値 \( -a^2+4a \), \( x=a+2 \) で最小値 \( -a^2+4 \)

\( y=-x^2+4x \)のグラフ

a=

赤色の点が最小値, 緑色の点が最大値をとる場所を表す。 ピンクの線は定義域の両端を表す。

\( a \)は正の定数とする。次の関数の最大値, 最小値を求めよ。
\(y=x^2-4x+1　　(a≦x≦a+1) \)

解法：
平方完成すると, \( y=-(x-2)^2-3 \) より
頂点の座標は\( (2，-3) \), 軸は直線 \(x=2\)
また, \(x=a\) のとき \(y=a^2-4a+1\), \(x=a+1\) のとき \(y=a^2-2a-2\)

最大値について考える。

定義域の中央は \( \displaystyle a+\frac12 \) となるので, \( 2 \leqq \displaystyle a+\frac12 \) の場合と \( 2 > \displaystyle a+\frac12 \) の場合に分ける。

1. （軸が定義域の中央より左側の場合）
   \(2 \leqq \displaystyle a+\frac12 \) のとき, すなわち \( \displaystyle a \geqq \frac32 \) のとき
   グラフより, \(x=a+1\) で最大値 \(a^2-2a-2\)
2. （軸が定義域の中央より右側の場合）
   \(2 > \displaystyle a+\frac12 \) のとき, すなわち \( \displaystyle a < \frac32 \) のとき
   グラフより, \(x=a\) で最大値 \( a^2-4a+1 \)

最小値について考える。

\( 2 < a \) の場合と \( a \leqq 2 \leqq a+1 \) の場合と \( 2 > a+1 \) の場合に分ける。

1. （軸が定義域より左の場合）
   \(2 < a\) のとき, すなわち \( a >2 \) のとき
   グラフより, \(x=a\) で最小値 \(a^2-4a+1\)
2. （軸が定義域内の場合）
   \( a \leqq 2 \leqq a + 1 \) のとき, すなわち \( 1 \leqq a \geqq 2 \) のとき
   グラフより, \(x=2\) で最小値 \( -3 \)
3. （軸が定義域より右側の場合）
   \( 2 > a+1 \) のとき, すなわち \( a < 1 \) のとき
   グラフより, \(x=a+1\) で最小値 \(a^2-2a-2\)

最大値を最小値をまとめてかく場合は, 以下のようになる。

解答：

1. （軸が定義域より左側の場合）\( a < 1 \) のとき,
   　\( x=a \) で最大値 \( a^2-4a+1 \), \( x=a+1 \) で最小値 \( a^2-2a-2 \)
2. （軸が定義域内の左側の場合）\( 1 \leqq a < \displaystyle \frac32 \) のとき,
   　\( x=a \) で最大値 \( a^2-4a+1 \), \( x=2 \) で最小値 \( -3 \)
3. （軸が定義域の中央にある場合）\( a = \displaystyle \frac32 \) のとき,
   　\( x=\displaystyle \frac32,\ \frac52 \) で最大値 \( \displaystyle - \frac{11}{4} \), \( x=2 \) で最小値 \( -3 \)
4. （軸が定義域内の右側の場合）\( \displaystyle \frac32 < a \leqq 2 \) のとき,
   　\( x=a+1 \) で最大値 \( a^2-2a-2 \), \( x=2 \) で最小値 \( -3 \)
5. （軸が定義域より右側の場合）\( a > 2 \) のとき,
   　\( x=a+1 \) で最大値 \( a^2-2a-2 \), \( x=a \) で最小値 \( a^2-4a+1 \)

\( y=x^2-4x+1 \)のグラフ

a=

赤色の点が最小値, 緑色の点が最大値をとる場所を表す。 ピンクの線は定義域の両端を表す。