GTS

中心が \( \mathrm{C} \), 半径が \( r \) の円上の点 \( \mathrm{P} \) は, \( \mathrm{CP} = r \) を常に満たす。
したがって, 座標平面上において, 中心 \( \mathrm{C} \) の座標を \( (a,\ b) \), 点 \( \mathrm{P} \) の座標を \( (x,\ y) \) とすると \( \mathrm{CP} = \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} \) であるから \[ \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} = r \] すなわち, \( \boldsymbol{ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 } \) が成り立つ。

特に, 原点 \( \mathrm{O} \) を中心とし, 半径が \( r \) の円の方程式は \( \boldsymbol{ x^2+y^2=r^2 } \) である。

円の方程式

中心 \( \mathrm{C} \) の座標：( , )

円の半径（２乗から算出）：

中心の座標 \( (a,\ b) \) と通る点 \( (x_1,\ y_1) \) が分かっている円の方程式を求める。

半径を \( r \) とすると, \( r \) は中心 \( (a,\ b) \) と通る点 \( x_1,\ y_1 \) の距離であるから \[ r^2 = (x_1-a)^2 + (y_1-b)^2 \] よって, 求める円の方程式は \[ (x-a)^2 + (y-b)^2 = (x_1-a)^2 + (y_1-b)^2 \]

中心と通る点の座標から円の方程式を求める。

中心の座標：( , )

通る点の座標：( , )

円の方程式：

半径：

計算過程：

異なる２点 \( \mathrm{A} (x_1,\ y_1),\ \mathrm{B}(x_2,\ y_2) \) を直径の両端とするの方程式を考える。

中心は線分 \( \mathrm{AB} \) の中点であり, その座標は \[ \left( \frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2} \right) \] 半径を \( r \) とすると, \( r \) は中心と点 \( \mathrm{A} \) との距離であるから \[ r^2 = \left(x_1-\frac{x_1+x_2}{2} \right)^2 + \left(y_1 - \frac{y_1+y_2}{2} \right)^2 \] よって, この円の方程式は \[ \boldsymbol{ \left(x-\frac{x_1+x_2}{2} \right)^2 + \left(y - \frac{y_1+y_2}{2} \right)^2 \\ \\ \\ = \left(x_1-\frac{x_1+x_2}{2} \right)^2 + \left(y_1 - \frac{y_1+y_2}{2} \right)^2} \]

直径の両端の点 \( \mathrm{A},\ \mathrm{B} \) から円のの方程式を求める。

点 \( \mathrm{A} \) の座標：( , )

点 \( \mathrm{B} \) の座標：( , )

方程式：

中心：, 半径：

計算過程：

円の方程式 \( (x-a)^2+(y-b)^2 = r^2 \) を展開すると \[ x^2+y^2 -2ax -2by +a^2+b^2-r^2=0 \] このとき, \( l=-2a,\ m=-2b,\ n=a^2+b^2-r^2 \) とすると \[ x^2+y^2+lx+my+n =0 \cdots\cdots ① \] と表せる。
逆に, ①について, \( x,\ y \) それぞれに平方完成を行うことで \[ \left( x+\frac{l}{2} \right)^2 + \left(y+\frac{m}{2} \right)^2 = \frac{l^2}{4} + \frac{m^2}{4} - n \] となる。
ここで, \( \displaystyle k= \frac{l^2}{4} + \frac{m^2}{4} - n \) とおくと
\( k>0 \) のとき, ①は中心 \( \displaystyle \left(-\frac{l}{2},\ -\frac{m}{2} \right) \), 半径 \( \displaystyle \sqrt{\frac{l^2}{4} + \frac{m^2}{4} - n} \) の円の方程式となる。
\( k=0 \) のとき, ①は点 \( \displaystyle \left(-\frac{l}{2},\ -\frac{m}{2} \right) \)
\( k<0 \) のとき, ①が表す図形はない。

\( x^2+y^2+lx+my+n=0 \) の表す図形

方程式：

方程式：

中心：, 半径：

計算過程：

異なる３点 \( \mathrm{A} (x_1,\ y_1),\ \mathrm{B}(x_2,\ y_2),\ \mathrm{C}(x_3,\ y_3)　\) を通る円の方程式を考える。
直線 \( \mathrm{AB} \) と 直線 \( \mathrm{BC} \) の傾きが等しいとき, ２直線が共に点 \( \mathrm{B} \) を通ることから, 直線 \( \mathrm{AB} \) と 直線 \( \mathrm{BC} \) は一致する。
よって, ３点 \( \mathrm{A,\ B,\ C}　\) は一直線上にあるため、円は作れない。
したがって, ３点 \( \mathrm{A,\ B,\ C}　\) は同じでなく, 一直線上にないとする。

求める方程式を \( x^2+y^2+lx+my+n =0 \) とすると, この方程式上に３点 \( \mathrm{A,\ B,\ C}　\) があることより, 連立方程式 \[ \begin{cases} {x_1}^2+{y_1}^2+{x_1}l+{y_1}m+n =0 \cdots\cdots ① \cr {x_2}^2+{y_2}^2+{x_2}l+{y_2}m+n =0 \cdots\cdots ② \cr {x_3}^2+{y_3}^2+{x_3}l+{y_3}m+n =0 \cdots\cdots ③ \cr \end{cases} \] が成り立つ。この方程式を解いて, \( l,\ m,\ n \) の値を求めればよい。

３点 \( \mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C} \) から円のの方程式を求める。

点 \( \mathrm{A} \) の座標：( , )

点 \( \mathrm{B} \) の座標：( , )

点 \( \mathrm{C} \) の座標：( , )

方程式：

円の方程式：

中心：, 半径：

計算過程：