GTS

円の方程式 \( (x-p)^2 + (y-q)^2 = r^2 \) と直線の方程式 \(lx + my + n = 0 \) について, \( l \ne 0,\ m \ne 0 \) とするとき, 両方の方程式の \( y \) を消去することで, ２次方程式 \[ ax^2 + bx + c = 0 \] が得られたとする。
このとき, ２次方程式の実数解が円と直線の共有点の \( x \) 座標になることから, ２次方程式の実数解の個数と, 円と直線の共有点の個数は一致する。

したがって, この２次方程式の判別式を \( D \) とすると, 円と直線の位置関係について \[ \begin{eqnarray} \boldsymbol{ D>0 } & \Longleftrightarrow & \mbox{異なる２点で交わる} \\ \boldsymbol{ D=0 } & \Longleftrightarrow & \mbox{接する（１点で接する）}\\ \boldsymbol{ D>0 } & \Longleftrightarrow & \mbox{共有点をもたない} \\ \end{eqnarray} \] が成り立つ。

円と直線の共有点と位置関係Ⅰ

円の中心 \( \mathrm{C} \) の座標：( , )

円の半径（２乗から算出）：

直線：

円と直線の位置関係：

共有点：

計算過程：

円の方程式 \( (x-p)^2 + (y-q)^2 = r^2 \) と直線の方程式 \(lx + my + n = 0 \) について, 円の中心と直線の距離を \( d \) とする。
このとき, \( d \) と \( r \) の大小関係によって円と直線の位置関係が変化する。

したがって, 円と直線の位置関係について \[ \begin{eqnarray} \boldsymbol{ d < r } & \Longleftrightarrow & \mbox{異なる２点で交わる} \\ \boldsymbol{ d = r } & \Longleftrightarrow & \mbox{接する（１点で接する）}\\ \boldsymbol{ d > r } & \Longleftrightarrow & \mbox{共有点をもたない} \\ \end{eqnarray} \] が言える。

円と直線の共有点と位置関係Ⅱ

円の中心 \( \mathrm{C} \) の座標：( , )

円の半径（２乗から算出）：

直線：

円と直線の位置関係：

計算過程：

円 \( x^2+y^2 = r^2 \) の点 \( \mathrm{P}(x_0,\ y_0) \) におけるこの円の接線 \( \ell \) の方程式を考える。

1. \( x_0 \ne 0\ かつ\ y_0 \ne 0 \) のとき
   円の中心を \( \mathrm{O} \) とすると, 直線 \( \mathrm{OA} \) の傾きは \( \displaystyle \frac{y_0}{x_0} \) となる。接線の傾きはこれに垂直であるから, 接線の傾きは \( \displaystyle - \frac{x_0}{y_0} \) である。したがって, 接線の方程式は \[ y = -\frac{x_0}{y_0}(x-x_0) \Longleftrightarrow y_0y = -x_0x + {x_0}^2+{y_0}^2 \] 点 \( \mathrm{P} \) は円 \( x^2+y^2=r^2 \) 上にあることより, \( {x_0}^2+{y_0}^2 = r^2 \) が成り立つので, \[ x_0x + y_0y = r^2 \cdots \cdots ① \] が成り立つ。
2. \( x_0 = 0 \) のとき
   \( y_0 = \pm r \) より, 接線の方程式は \( y = \pm r \) （複号同順）となり, これは ① を満たす。
3. \( y_0 = 0 \) のとき
   \( x_0 = \pm r \) より, 接線の方程式は \( x = \pm r \) （複号同順）となり, これは ① を満たす。

1. 2. 3. より, \[ \boldsymbol{ x_0x + y_0y = r^2 } \] が成り立つ。

次に, 円 \( (x-a)^2+(y-b)^2 = r^2 \) の点 \( \mathrm{Q} \) におけるこの円の接線 \( \ell \) の方程式を考える。 上の接線を \( x \) 軸方向に \( a \)，\( y \) 軸方向に \( b \) 平行移動すると \[ x_0(x−a)+y_0(y−b)=r^2 \cdots \cdots ② \] 接点 \( \mathrm{Q} (x_1,\ y_1) \) が, 原点が中心のときの接点 \( \mathrm{P} (x_0,\ y_0) \) を \( x \) 軸方向に \( a \)，\( y \) 軸方向に \( b \) 平行移動したものとすると, \[ \begin{cases} x_1 = x_0+a \cr y_1 = y_0+b \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x_0 = x_1−a \cr y_0 = y_1−b \end{cases} \] これを ② に代入すると \[ \boldsymbol{ (x_1−a)(x−a)+(y_1−b)(y−b)=r^2 } \]

円の接線の方程式を求める。

円の方程式：

円の中心 \( \mathrm{C} \) の座標：( , )

円の半径（２乗から算出）：

点 \( \mathrm{A} \) の座標：( , )

接線の方程式：

計算過程：

円 \( x^2+y^2 = r^2 \) の外にある点 \( \mathrm{A}(x_1,\ y_1) \) から引いたこの円の接線 \( \ell \) の方程式を考える。

接線は \( x \) 軸と \( y \) 軸と平行でないとして, その \( \ell \) の傾きを \( m \) とすると, \( \ell \) は点 \( \mathrm{A} \) を通ることより \[ y - y_1 = m(x- x_1) \] とおける。すなわち, \( mx - y - mx_1 + y_1 =0 \) となる。接線 \( \ell \) と円の中心（この場合は原点 \( (0,\ 0) \)）との距離は円の半径となるので \[ \frac{|-mx_1+y_1|}{\sqrt{m^2+1}} = r \] となる。両辺を２乗して, 分母を払うと \[ ({x_1}^2-r^2) m^2 -2x_1y_1 m + {y_1}^2 - r^2 = 0 \] となり, この \( m \) についての２次方程式を解くと, 円の接線の方程式が求まる。

中心が原点にない円 \( (x-a)^2+(y-b)^2 = r^2 \) に関しても同様に \( m \) の２次方程式を作ることで, 円の接線の方程式を求めることができる。

また, この \( m \) の２次方程式の判別式を \( D \) とすると, \( D<0 \) のときは, 点 \( \mathrm{A} \) が円の内部にあるときになり, 接線を求めることができない。次に, \( D=0 \) のとき, 点 \( \mathrm{A} \) は円上の点となるので, 上記の円の接線の方程式を用いることで接線の方程式が求まる。

円外の点から引いた接線の方程式を求める。

円の方程式：

円の中心 \( \mathrm{C} \) の座標：( , )

円の半径（２乗から算出）：

点 \( \mathrm{A} \) の座標：( , )

接線の方程式：

計算過程：