2直線 \[ y = m_1x + n_1 \cdots ①\\ y = m_2x + n_2 \cdots ② \] が平行であるのは, それらの傾きが等しいときであるから \[ \boldsymbol{ 2直線\ ①,\ ②\ が平行 \Longleftrightarrow m_1=m_2 } \] ※ \( m_1=m_2,\ n_1=n_2 \) のとき, 直線 ①, ② は一致するが, この場合も, 直線 ①, ② は平行であると考えることにする。
直線 \( ax+by+c=0 \) について, 傾きは \( \displaystyle - \frac{a}{b} \) であるから, 点 \( (x_1,\ y_1) \) を通り, \( ax+by+c=0 \) に平行な直線は \( \displaystyle y-y_1 = -\frac{b}{a} (x-x_1) \) となる。
これを整理すると 点 \( (x_1,\ y_1) \) を通り, \( ax+by+c=0 \) に平行な直線は, \( \boldsymbol{a(x-x_1)+b(y-y_1)=0} \) と表せる。

次に, 2直線 ①, ② が垂直ならば, それらに平行で原点 \( \mathrm{O} \) を通る2直線 \[ y=m_1 x,\ y=m_2 x \] も垂直である。これらの直線上に, それぞれ \( \mathrm{P}(1,\ m_2),\ \mathrm{Q}(1,\ m_2) \) をとると, \( \triangle\mathrm{OPQ} \) は, \( \angle\mathrm{POQ}=90^{\circ} \) の直角三角形であるから \[ \mathrm{OP}^2 + \mathrm{OQ}^2 = \mathrm{PQ}^2 \cdots ③ \] よって \[ (1^2+{m_1}^2) + (1^2+{m_2}^2) = (m_1-m_2)^2 \cdots ④ \] となるので, これを展開して整理すると \[ m_1m_2=-1 \cdots ⑤ \] 逆に, ⑤ が成り立つと, ④ も成り立ち、③ も成り立つので, 2直線 ①, ② は垂直である。
したがって, \[ \boldsymbol{ 2直線\ ①,\ ②\ が垂直 \Longleftrightarrow m_1m_2=-1 } \] 直線 \( ax+by+c=0 \) について, 傾きは \( \displaystyle - \frac{a}{b} \) であるから, 点 \( (x_1,\ y_1) \) を通り, \( ax+by+c=0 \) に垂直な直線は \( \displaystyle y-y_1 = \frac{a}{b} (x-x_1) \) となる。
これを整理すると 点 \( (x_1,\ y_1) \) を通り, \( ax+by+c=0 \) に平行な直線は, \( \boldsymbol{b(x-x_1)-a(y-y_1)=0} \) と表せる。

2直線の平行と垂直

\( a \) の値
\( b \) の値
\( c \) の値

傾き:\( ,\ \) \( y \) 切片:\( ,\ \) \( x \) 切片:

平行または垂直な直線が通る点の座標:( , )

\( x\ 座標 \)
\( y\ 座標 \)

平行な直線:\( ,\ \)その傾き:\( ,\ \)
垂直な直線:\( ,\ \)その傾き:
赤い線が平行な直線で, 青い線が垂直な直線 を示している。

計算過程:

座標平面上の2直線が, 方程式

\[ a_1 x + b_1 y + c_1 = 0 \cdots ① \\ a_2 x + b_2 y + c_2 = 0 \cdots ② \] であるとする。2直線 ①, ② が共有点をもつとき, その共有点の座標は, 方程式 ①, ② を連立させた連立方程式の解である。したがって, この2つの直線の関係と連立方程式の解について, 次のことが成り立つ。

2直線が1点で交わる \( \Longleftrightarrow \) 連立方程式はただ1組の解を持つ
2直線が平行で一致しない \( \Longleftrightarrow \) 連立方程式は解を持たない
2直線が一致する \( \Longleftrightarrow \) 連立方程式は無数の解を持つ

ポイント

連立方程式の解の持ち方, すなわち2直線の関係は, \(a,\ b,\ c\) の比の値の関係とも関連がある。

2直線が1点で交わる \(\Longleftrightarrow a_1 : b_1 \ne a_2 : b_2 \)
2直線が平行で一致しない \( \Longleftrightarrow a_1 : b_1 = a_2 : b_2\ かつ \ b_1: c_1 \ne b_2 : c_2 \)
2直線が一致する \( \Longleftrightarrow a_1 : b_1 = a_2 : b_2\ かつ \ b_1 : c_1 = b_2 : c_2 \)

2直線の関係と連立1次方程式

\( \cdots ① \)

\( a_1 \) の値
\( b_1 \) の値
\( c_1 \) の値

\( \cdots ② \)

\( a_2 \) の値
\( b_2 \) の値
\( c_2 \) の値

2直線の関係:\( ,\ \)
連立方程式の解:

2直線の交点を通る直線について考える。2つの直線

\[ a_1 x + b_1 y + c_1 = 0 \cdots ① \\ a_2 x + b_2 y + c_2 = 0 \cdots ② \] があり, これらは平行でないとする。2直線 ①, ② が共有点 \( (p,\ q) \) をもつとき, 代入したときに等式が成り立つことから \[ (a_1x+b_1y+c_1) + k(a_2x+b_2y+c_2) = 0 \cdots ③ \] は, 交点 \( (p,\ q) \) を通る直線を表す。
これが別の点 \( (p',\ q') \) も通るとき \[ (a_1p'+b_1q'+c_1) + k(a_2p'+b_2q'+c_2) = 0 \] が成り立つ。ここで, \( a_2p'+b_2q'+c_2 \ne 0 \) とすると, \[ k = - \frac{a_1p'+b_1q'+c_1}{a_2p'+b_2q'+c_2} \] が得られるので, この \( k \) の値を代入すれば, 2点を通る直線の方程式が得られる。
しかし, \( a_2p'+b_2q'+c_2=0 \) の場合, ③は \[ a_1x+b_1y+c=0 \] となる。つまり, \( a_2p'+b_2q'+c_2=0 \) となるのは, \( (p',\ q') \) が直線 ② 上にあるときであるが, この場合は交点と \( (p',\ q') \) を通る直線 ② そのものであるから, 上の式は使えない。
したがって, ③ は 2直線の交点を通る直線のうち、直線 ② 以外のすべての直線の方程式を表している。

2直線の交点を通る直線の方程式

\( \cdots ① \)

\( a_1 \) の値
\( b_1 \) の値
\( c_1 \) の値

\( \cdots ② \)

\( a_2 \) の値
\( b_2 \) の値
\( c_2 \) の値

\( k= \)

2直線の交点を通る直線の方程式:

計算過程:

2点 A, B が直線 \( \ell \) に関して対称であることは, 次の 1. 2. がともに成り立つことと同値である。

  1. 直線 AB は \( \ell \) に垂直である。
  2. 線分 AB の中点は \( \ell \) 上にある。

ただし, 直線 \( \ell \) 上の点は, \( \ell \) に関して自分自身と対称となる。

直線に関して対称な点

直線 \( \ell \) の方程式:

\( a \) の値
\( b \) の値
\( c \) の値

点 A の座標:( , )

\( x\ 座標 \)
\( y\ 座標 \)

直線 \( \ell \) に関して点 A と対称な点 B:

計算過程:

点 \( \mathrm{A} (x_1,\ y_1) \) と直線 \( \ell \) : \( ax+by+c=0 \) の距離 \( d \) は, \[ \boldsymbol{ d=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} } \]

証明)
\( a=0 \) のとき,直線 \( \ell \) は \( \displaystyle y=−\frac{c}{b} \) となるので求める距離は \( \displaystyle \left|y_1+\frac{c}{b} \right| \) となり距離公式は正しい。 \( b=0 \) のときも同様。よって,以下 \( a,\ b \) ともに \( 0 \) でない場合を考える。

直線 \( \ell \) 上に点 \( \mathrm{P,\ Q} \) を, \( \mathrm{P} \) と \( \mathrm{A} \) の \( x \) 座標が等しく,\( \mathrm{Q} \) と \( \mathrm{A} \) の \( y \) 座標が等しくなるようにとる。
\( \mathrm{PA} =p ,\ \mathrm{QA} =q \) とおくと, \( \mathrm{PQ} =\sqrt{p2+q2} \) である。 \( \triangle\mathrm{APQ} \) の面積 \( S \) は, 底辺と高さの取り方を2通りで表すことにより \[ S = \frac12pq \\ S = \frac12 d \sqrt{p^2+q^2} \] と表せるので \( \displaystyle \frac12pq = \frac12 d \sqrt{p^2+q^2} \) より, \( \displaystyle d=\frac{pq}{\sqrt{p^2+q^2}} \) となる。
ここで, 直線 \( \ell \) の方程式から \[ p = \left\vert \frac{−c−ax_1}{b}−y_1 \right\vert = \frac{1}{|b|} |ax_1+by_1+c| \] となり, 同様にして \[ q = \left\vert \frac{−c−by_1}{a}−x_1 \right\vert = \frac{1}{|a|} |ax_1+by_1+c| \] となるので,これらを上式に代入して整理すると \[ d=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}_{//} \]

点と直線の距離

直線 \( \ell \) の方程式:

\( a \) の値
\( b \) の値
\( c \) の値

点 A の座標:( , )

\( x\ 座標 \)
\( y\ 座標 \)

点 A と直線 \( \ell \) の距離:

計算過程: