数直線上の２点間の距離
数直線上の２点 \( \mathrm{A}(a),\ \mathrm{B}(b) \) 間の距離 \( \mathrm{AB} \) は
\( a \leqq b \) のとき \( \mathrm{AB} = b-a \)
\( a > b \) のとき \( \mathrm{AB} = a-b = -(b-a) \)
であるから, 次の式で表される。
\[
\mathbf{AB}=\boldsymbol{ |b-a| }
\]
\( \mathrm{AB} \) 間の距離
点 \( \mathrm{A} \) の座標：（\( 0.1 \) 刻み）
点 \( \mathrm{B} \) の座標：（\( 0.1 \) 刻み）
距離：
計算過程：
線分の内分点
\( m,\ n \) は正の数とする。
点 \(\mathrm{P}\) が線分 \(\mathrm{AB}\) 上にあって
\[
\mathbf{AP:PB}=\boldsymbol{m:n}
\]
が成り立つとき, 点 \(\mathrm{P}\) は線分 \(\mathrm{AB}\) を \(m:n\) に内分するといい, \(\mathrm{P}\) を内分点という。
直線上に 点 \( \mathrm{A}(a),\ \mathrm{B}(b) \) があるとする。
点 \(\mathrm{P}(x)\) が線分 \(\mathrm{AB}\) 上にあって, 点 \(\mathrm{P}\) が線分 \(\mathrm{AB}\) を \(m:n\) に内分しているとき
\( a < b \) とすると, \( a < x < b \) であるから \( \mathrm{AP}=x-a,\ \mathrm{PB}=b-x \) より
\[
\mathrm{AP}:\mathrm{PB} = m:n\\
(x-a) : (b-x) = m:n
\]
したがって, \( n(x-a)=m(b-x) \) となるので, \( (m+n)x = na + mb \) より
\[
\boldsymbol{ x = \frac{na+mb}{m+n} }
\]
である。\( a > b \) のときも同様にして, 同じ式が導かれる。
特に, \( m=n \) のとき点 \( \mathrm{P} \) は線分 \( \mathrm{AB} \) の中点となり, その座標は \( \displaystyle \boldsymbol{ \frac{a+b}{2} } \) である。
\( \mathrm{AB} \) の内分点 \( \mathrm{P} \)
点 \( \mathrm{A} \) の座標：（\( 0.1 \) 刻み）
点 \( \mathrm{B} \) の座標：（\( 0.1 \) 刻み）
\( m = \)
\( n = \)
点 \( \mathrm{P} \) の座標：
計算過程：
線分の外分点
\( m,\ n \) は正の数とする。
点 \(\mathrm{Q}\) が線分 \(\mathrm{AB}\) の外側にあって
\[
\mathbf{AQ:QB} = \boldsymbol{ m:n }
\]
が成り立つとき, 点 \(\mathrm{Q}\) は線分 \(\mathrm{AB}\) を \(m:n\) に外分するといい, \(\mathrm{P}\) を外分点という。
直線上に 点 \( \mathrm{A}(a),\ \mathrm{B}(b) \) があるとする。
点 \(\mathrm{Q}(x)\) が直線 \(\mathrm{AB}\) 上にあって, 点 \(\mathrm{Q}\) が線分 \(\mathrm{AB}\) を \(m:n\) に外分しているとき
\( a < b, m > n \) とすると, \( a < x < b \) であるから \( \mathrm{AP}=x-a,\ \mathrm{PB}=x-b \) より
\[
\mathrm{AP}:\mathrm{PB} = m:n\\
(x-a) : (x-b) = m:n
\]
したがって, \( n(x-a)=m(x-b) \) となるので, \( (m-n)x = -na + mb \) より
\[
\boldsymbol{ x = \frac{-na+mb}{m-n} }
\]
である。同様にして, \( a\ と\ b,\ m\ と\ n \) の大小に関係なく同じ式が導かれる。
\( \mathrm{AB} \) の外分点 \( \mathrm{Q} \)
点 \( \mathrm{A} \) の座標：（\( 0.1 \) 刻み）
点 \( \mathrm{B} \) の座標：（\( 0.1 \) 刻み）
\( m = \)
\( n = \)
点 \( \mathrm{Q} \) の座標：
計算過程：