２点間の距離
座標平面上の２点 \( \mathrm{A}(x_1,\ y_1),\ \mathrm{B}(x_2,\ y_2) \) 間の距離 \( \mathrm{AB} \) は, 点 \( \mathrm{C}(x_2,\ y_1) \) とすると
\[
\mathrm{AC} = |x_2-x_1|,\ \mathrm{BC} = |y_2-y_1|
\]
\( \triangle\mathrm{ABC} \) は直角三角形であるから, 三平方の定理より
\[
\mathbf{AB}= \sqrt{\mathrm{AC}^2+\mathrm{BC}^2} = \boldsymbol{ \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} }
\]
この式は, 直線 \( \mathrm{AB} \) が \( x \) 軸, または \( y \) 軸に平行なときにも成り立つ。
特に, 原点 \( \mathrm{O} \) と点 \( \mathrm{A} \) の距離 \( \mathrm{OA} \) は
\[
\mathbf{OA} = \boldsymbol{ \sqrt{{x_1}^2+{y_1}^2} }
\]
\( \mathrm{AB} \) 間の距離
点 \( \mathrm{A} \) の座標：( , )
点 \( \mathrm{B} \) の座標：( , )
\( \mathrm{AB} \) 間の距離：
計算過程：
内分点
\( m,\ n \) は正の数とする。
座標平面上に 2 点 \( \mathrm{A}(x_1,\ y_1),\ \mathrm{B}(x_2,\ y_2) \) があるとする。
点 \(\mathrm{P}(x,\ y)\) が線分 \(\mathrm{AB}\) 上にあって, 点 \(\mathrm{P}\) が線分 \(\mathrm{AB}\) を \(m:n\) に内分しているとき
直線 \( \mathrm{AB} \) が \( x \) 軸に垂直でないとき, \( \mathrm{A,\ B,\ P} \) から \( x \) 軸に, それぞれ垂線 \( \mathrm{AA' ,\ BB',\ PP'} \) を下ろすと, 点 \( \mathrm{P'} \) は線分 \( \mathrm{A'B'} \) を \(m:n\) に内分する。
よって, 直線上の内分点の公式から
\[
x = \frac{nx_1+mx_2}{m+n}
\]
である。直線 \( \mathrm{AB} \) が \( x \) 軸に垂直であるときも, \( x=x_1=x_2 \) となるので, 上の式が成り立つ。
\( \mathrm{P} \) の \( y \) 座標にについても, 同様にして
\[
y = \frac{ny_1+my_2}{m+n}
\]
が成り立つので、点 \( \mathrm{P} \) の座標は
\[
\mathrm{P} \left( \boldsymbol{\frac{nx_1+mx_2}{m+n},\ \frac{ny_1+my_2}{m+n}} \right)
\]
特に, \( m=n \) のとき点 \( \mathrm{P} \) は線分 \( \mathrm{AB} \) の中点となり, その座標は \( \displaystyle \left( \boldsymbol{ \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}} \right) \) である。
\( \mathrm{AB} \) の内分点 \( \mathrm{P} \)
点 \( \mathrm{A} \) の座標：( , )
点 \( \mathrm{B} \) の座標：( , )
\( m = \)
\( n = \)
点 \( \mathrm{P} \) の座標：
計算過程：
外分点
\( m,\ n \) は正の数とする。
座標平面上に 点 \( \mathrm{A}(x_1,\ y_1),\ \mathrm{B}(x_2,\ y_2) \) があるとする。
点 \(\mathrm{Q}(x,\ y)\) が直線 \(\mathrm{AB}\) 上にあって, 点 \(\mathrm{Q}\) が線分 \(\mathrm{AB}\) を \(m:n\) に外分しているとき, 内分点の座標と同様に考えることで
\[
\mathrm{Q} \left( \boldsymbol{\frac{-nx_1+mx_2}{m-n},\ \frac{-ny_1+my_2}{m-n}} \right)
\]
が成り立つ。
\( \mathrm{AB} \) の外分点 \( \mathrm{Q} \)
点 \( \mathrm{A} \) の座標：( , )
点 \( \mathrm{B} \) の座標：( , )
\( m = \)
\( n = \)
点 \( \mathrm{Q} \) の座標：
計算過程：
三角形の重心の座標
座標平面上に 3 点 \( \mathrm{A}(x_1,\ y_1),\ \mathrm{B}(x_2,\ y_2),\ \mathrm{C}(x_3,\ y_3) \) があるとする。
\( \triangle\mathrm{ABC} \) の重心 \( \mathrm{G}(x,\ y) \) の座標を求める。
辺 \( \mathrm{AB} \) の中点 \( \mathrm{M} \) の座標は
\[
\left( \frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2} \right)
\]
となり, \( \mathrm{G} \) は中線 \( \mathrm{CM} \) を \( 2:1 \) に内分する点であるから, その \( x \) 座標は
\[
x = \frac{1\cdot x_3 + 2 \cdot \frac{x_1+x_2}{2}}{2+1} = \frac{x_1+x_2+x_3}{3}
\]
となるので, 同様にして \( \displaystyle y= \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \) であるから, 重心 \( \mathrm{G} \) の座標は
\[
\mathrm{G} \left( \boldsymbol{\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\ \frac{y_1+y_2+y_3}{3}} \right)
\]
である。
\( \triangle\mathrm{ABC} \) の重心 \( \mathrm{G} \)
点 \( \mathrm{A} \) の座標：( , )
点 \( \mathrm{B} \) の座標：( , )
点 \( \mathrm{C} \) の座標：( , )
点 \( \mathrm{G} \) の座標：
計算過程：
点に関して対称な点
点 \( \mathrm{A}(a,\ b) \) に関して, ２点 \( \mathrm{P}(x_1,\ y_1),\ \mathrm{Q}(x_2,\ y_2) \) が対称であるとき, \( \mathrm{A} \) は線分 \( \mathrm{PQ} \) の中点であるから, 次の等式が成り立つ。 \[ a = \frac{x_1+x_2}{2},\ b = \frac{y_1+y_2}{2} \cdots ① \] また, 点 \( \mathrm{Q} \) が線分 \( \mathrm{PA} \) を \( 2:1 \) に外分することより \[ x_2 = -x_1+2a,\ y_2 = -y_1 + 2b \cdots ② \] として求めることができる（①を式変形すると②になる）。
点に関して対称な点
点 \( \mathrm{A} \) の座標：( , )
点 \( \mathrm{P} \) の座標：( , )
点 \( \mathrm{Q} \) の座標：
計算過程：